Funtor Tor

En álgebra homológica, los funtores Tor son los funtores derivados del funtor producto tensor.

Específicamente, supongamos que R es un anillo, y denotemos como R-Mod la categoría de los R-módulos izquierdos y por Mod-R la categoría de los R-módulos derechos (si R es conmutativo, las dos categorías coinciden). Ahora fijamos un módulo B en R-Mod. Para A en Mod-R, sea T(A) = A ⊗ B. Entonces T es un functor exacto derecho de Mod-R a la categoría de los grupos abelianos Ab (en el caso en el que R sea conmutativo, será un functor exactor derecho de Mod-R a Mod-R) y sus funtores izquierdos derivados, L_nT estarán definidos. Sea:

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}$

es decir, tomamos una resolución proyectiva de A

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0}$

y entonces eliminamos el término A y tensamos la resolución proyectiva con B, obteniendo el complejo:

${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$

(nótese que A⊗B no aparece y la última flecha es precisamente el morfismo cero) y tomamos la homología de este complejo para definir el funtor Tor.

Referencias

Weibel, Charles A. (1994). «3». An introduction to homological algebra (en inglés). Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. pp. 66-68. ISBN 978-0-521-55987-4. Consultado el 28 de septiembre de 2016.