Potencia perfecta

En matemáticas, una potencia perfecta es un número natural que es producto de factores naturales iguales, o dicho de otro modo, un número entero que se puede expresar como un cuadrado o como una potencia entera mayor que uno. Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen dos números naturales m > 1, y k > 1 tales que m^k = n. En este caso, n puede llamarse k-ésima potencia perfecta. Si k = 2 o k = 3, entonces n se llama cuadrado perfecto o cubo, respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0^k = 0 para cualquier k > 0, 1^k = 1 para cualquier k).

Ejemplos y sumas

Se puede generar una sucesión de potencias perfectas iterando a través de los valores posibles para m y k. Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (mostrando potencias duplicadas) son (sucesión A072103 en OEIS):

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluyendo duplicados como 3⁴ y 9², ambos iguales a 81) es 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

lo que se puede demostrar de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

Las primeras potencias perfectas sin duplicados son:

(a veces 0 y 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (sucesión A001597 en OEIS)

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es:^[1]​

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

donde μ(k) es la función de Möbius y ζ(k) es la función zeta de Riemann.

Según Euler, Goldbach mostró (en una carta ahora perdida) que la suma de 1/p − 1 sobre el conjunto de potencias perfectas p, excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}} {\frac {1}{7}} {\frac {1}{8}} {\frac {1}{15}} {\frac {1}{24}} {\frac {1}{26}} {\frac {1}{31}}} \cdots =1.}$

Esto a veces se conoce como el teorema de Goldbach-Euler.

Detección de potencias perfectas

Detectar si un número natural n dado es o no una potencia perfecta se puede lograr de muchas maneras diferentes, con niveles variables de complejidad. Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles para k en cada uno de los divisores de n, hasta ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$. Entonces, si los divisores de ${\displaystyle n}$ son ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$, entonces uno de los valores ${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$ debe ser igual a n si n es una potencia perfecta.

Este método se puede simplificar de inmediato considerando en su lugar solo los valores primos de k. Esto se debe a que si ${\displaystyle n=m^{k}}$ para un número compuesto ${\displaystyle k=ap}$ donde p es primo, entonces esto se puede reescribir simplemente como ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$. Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Si se conoce la factorización completa de n, descrita como ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ donde los ${\displaystyle p_{i}}$ son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si ${\displaystyle {\text{mcd}}(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$, donde mcd denota el máximo común divisor. Como ejemplo, considérese n= 2⁹⁶·3⁶⁰·7²⁴. Como el mcd(96, 60, 24)= 12, n es una potencia perfecta de 12 (y una potencia perfecta de 6, 4, cúbica y cuadrada, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12).

Brechas entre potencias perfectas

En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 2³= 8 y 3²= 9, demostrando así la conjetura de Catalan.

La conjetura de Pillai establece que para cualquier número entero positivo k dado, solo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k. Este es un problema sin resolver.^[2]​

Véase también

• Potencia prima

Referencias

• Daniel J. Bernstein (1998). «Detecting perfect powers in essentially linear time». Mathematics of Computation 67 (223): 1253-1283. doi:10.1090/S0025-5718-98-00952-1. 

Enlaces externos

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)